摘要
随着互联网技术的蓬勃发展和大数据技术不断进步，人们对图像视频等流数据的需求越来越高，这对数据的传输和处理带来不小的考验。传统的信号采样模式在面临海量数据时承受巨大数据传输和数据处理的压力。矩阵恢复作为压缩传感在高维数据的拓展，能够从欠采样数据中精确恢复数据，不仅更适配图像等以矩阵为数据形式的数据结构，并且能够大幅度降低数据的存储和传输成本。在本文中，我们创新性地将深度学习中的深度生成模型与矩阵恢复进行结合，以偏差建模为核心思想，使用深度生成模型对数据的先验性质进行挖掘并融入矩阵恢复，提出了Low-Rank-Gen矩阵恢复框架，成功地减少了矩阵恢复所需要的采样要求，并提高了恢复精度。本文的主要内容有: 1.本文简要概述了矩阵恢复的研究背景，以及当前矩阵恢复问题的不同建模思路。考虑到深度生成模型能够有效捕捉和挖掘目标数据的低维表示，并且能够提供完整直观的先验信息，在一定程度上超越了传统先验假设。因此我们结合低秩偏差建模思路，将矩阵恢复和深度生成模型进行结合，给出了Low-Rank-Gen模型。 2.对基于深度生成模型先验的矩阵恢复问题的模型Low-Rank-Gen进行理论分析。我们提出了矩阵集合限制奇异值条件(M-S-REC条件)，并结合矩阵限制等距条件(M-RIP条件)，证明了Low-Rank-Gen框架下解码子存在性定理、采样算子定理和可恢复性定理。定理表明，算法可以基于采样数满足m=O(1/δ2(klog(La/τ)+(n1+n2+1)rlog(1/τ)))的随机高斯采样算子下以极高的概率成功恢复原始矩阵信号。定理同时也表明将恢复矩阵拆分为生成式先验和低秩偏差矩阵的合理性，Low-Rank-Gen方法合理有效地刻画偏差矩阵的内部结构性信息。 3.在真实场景的应用上，我们在五个真实数据集上预训练了变分自编码器(VAE)或深度卷积生成对抗网(DCGAN)模型作为模型先验，并做了四类型不同实验，分别为:图像重建、欠训练重建、迁移重建和噪声容限度测试。实验表明算法在较低测量数场景下的重建精度明显优于经典矩阵恢复算法。特别地，在对大偏差场景的刻画相比其他场景具有较大地优越性。迁移重建表明我们的方法在跨域重建方面具有巨大潜力，同时具有更强的对抗噪音鲁棒性。实验结果契合模型的建模思路和理论分析结果。
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