摘要
Thurston在他的著作中给出了Hopf纤维化,单位四元数与S3的诸多结论,但缺少证明.并且在关于四元数与S3方面,现有的文献很少讨论四元数在不同复结构下与S3的关系,且在一些代数拓扑的文献中并未给出与Hopf纤维化相关结论的详细证明过程.基于此,本文对上述结论进行了补全.本文主要关注三个问题:(1)计算球极投影下Hopf纤维化的局部结构;(2)四元数的共轭变换诱导二维球面的旋转变换;(3)在四元数的不同复结构下,单位四元数的任意一个右乘变换都是一个酉变换. 本文对纤维丛,纤维化,复射影空间以及四元数等相关概念进行了简单回顾.Hopf纤维化是代数拓扑中的一个经典构造.通过球极投影给出了Hopf纤维化的几何直观.在此基础上画出了部分的Hopf纤维化.此外,本文还给出了Hopf纤维化是纤维丛的证明细节.通过研究四元数代数的线性表示,本文证明了四元数的共轭变换诱导二维球面的旋转变换.利用欧氏空间的同构分类,本文给出了一个新的证明,不同于纯代数证明,该证明具有非常强的几何直观.与此同时,通过研究四元数集的复结构,本文证明了在四元数不同的复结构下,单位四元数的任意一个右乘变换都是一个酉变换.由此,本文得到了不可数多个从三维球面到二阶特殊酉矩阵群的拓扑同胚映射.这两个主要结论的证明技术主要是四元数代数的线性表示,通过上述两个主要结论的证明,本文还得到了一些小结论.如四元数的左乘变换和右乘变换都是保持定向的变换,并给出了单位四元数的共轭变换对应二维球面的旋转变换的旋转角度公式等.
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