摘要
本文主要研究指标理论在N体问题中的应用，讨论了1+n形中心构型和α势能下的中心构型解的稳定性。N体问题作为天体力学中的主要问题，描述了在万有引力作用下多个质点的运动规律，当n＞2时，N体问题的完全解求解极其困难，但可以研究周期解的性质。而中心构型是目前已知的构造周期解的唯一方法，它描述了所有质点都绕质心做同步的周期运动的特殊情况。数学家们证明了很多类周期轨道的存在性，但是关于稳定性还有许多未解决的问题。对于本文研究的哈密顿系统，如果结合对应的Morse指标和Maslov-型指标进行分析，则可以对它们的性质作出更好的刻画。 文章首先对N体问题进行了详细的数学定义及解释，并介绍了中心构型的概念及其在N体问题中的应用。随后，基于Meyer和Schmidt提出的中心构型坐标系方法，分别对1+n形中心构型、α势能下拉格朗日中心构型和α势能下一般N体问题的相对平衡解分解，得到质心平移部分、开普勒运动部分和本质部分，并通过计算相对应的Morse指标和Maslov-型指标，分析了相对平衡解的稳定性，并且探讨了指标与稳定性之间的联系。 研究结果表明，对于1+n型中心构型，当n≥8且位于中心的天体质量m足够大时，对任意e∈[0，1）椭圆相对平衡解都是稳定的;而对于α势能下的拉格朗日中心构型，拉格朗日圆形轨道存在并有一个线性稳定性区域，类似经典平面三体问题依然用α和β来表示，进一步的，本文计算了这个轨道及其k次迭代的Maslov-型指标，分析k次迭代指标跳跃的条件从而得到了稳定性曲线方程，进一步分析了解的线性稳定性与指标之间的关系;对于α势能下的一般N体问题，我们发现α势能的引入对稳定性有显著影响，当平衡点的Morse指标为奇数时，相对平衡解总是谱不稳定的。对于α势能下一类对称的1+2型中心构型，相对平衡解也是不稳定的。
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