摘要
拉普拉斯矩阵是图的一种经典表示矩阵，拉普拉斯特征值与图的结构紧密相关.本文主要研究了图的拉普拉斯特征值在区间[0,1）内的个数与图的直径、控制数以及点数之间的关系.首先，对于直径为d的树，本文证明了区间[0,1）内拉普拉斯特征值个数的下界是d+1/3，并刻画了达到下界的极图.进一步地，本文得到了树的控制数与区间[0,1）内拉普拉斯特征值个数的等价关系，即树的控制数等于d+1/ 3当且仅当它有恰好d+1/ 3个小于1的拉普拉斯特征值.其次，对于点数为n的连通图，本文得到了区间[0,1）内拉普拉斯特征值个数的上界是n/2,并刻画了达到该上界的所有极图.
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