摘要
数字通信和计算技术的发展推动了纠错码理论的迅速发展．线性码特别是少重量线性码具有良好的代数结构，是一类易于实现编码和译码算法的纠错码，在密码学领域有着广泛的应用．线性码的完全重量分布通过确定每个码字中分量出现的次数，细致地刻画了码的内部结构，不仅反映了码的纠错能力，而且在研究实际通信的通信效率方面有着重要作用．码的重量分布不仅能够确定其最小距离，反应一个码的纠错和检错能力，还包含了码在检错和纠错过程中失误率的重要信息．由于码的重量分布可以由完全重量分布得到，因此研究线性码的完全重量分布有重要意义．基于此，本文主要研究有限域和有限链环上由定义集确定的几类线性码的完全重量分布及其在组合数学、密码学领域中的应用，具体研究内容如下： 第一章介绍了线性码完全重量分布的研究背景和研究意义、国内外研究现状，以及本文的主要研究结果． 第二章介绍了代数学的基本知识和线性码的相关概念，以及有限域上的Gauss和与Weil和的相关结果，为本文的后续工作奠定了基础． 第三章构造了有限域上由定义集定义的线性码，根据有限域上指数和的相关结果，确定了线性码的完全重量分布及其删余码的重量分布． 第四章构造了有限链环上由定义集定义的线性码，基于有限链环上线性码的定义以及迹映射的性质，利用有限域上的指数和以及从有限链环到有限域上的Gray映射确定了Gray象的完全重量分布。 第五章基于有限域上线性码和有限链环上线性码Gray象的完全重量分布，研究了少重量线性码在强正则图、极小码、认证码中的应用，并构造了两类达到Griesmer界的最优码。 第六章对全文的主要研究结果进行总结，并给出了进一步研究的完全重量分布问题。
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