摘要
超几何级数和基本超几何级数是两类非常广泛的特殊函数, 本文致力于研究Ramanujan广义模方程和q-正交多项式中的超几何级数和基本超几何级数,得到了下列研究结果: 将广义完全椭圆积分的一个性质推广到了零平衡Gauss超几何级数, 由此给出了裘松良教授等在2020年提出公开问题的一个解答. 研究了一个Ramanujan广义模方程解的性质, 即广义Hersch-Pfluger偏差函数的次可乘性和幂次可乘性; 同时揭示了广义Gr(o)tzsch函数和广义Hübner函数关于参数的单调性,从而改进Anderson教授等的结论. 构造了一个q-指数型算子方程, 建立了关于q-Laguerre多项式的一个算子表示, 进而得到了q-Laguerre多项式的Rogers型, Mehler型, Hardy-Hille型等生成函数. 给出了一个解析函数能够展开成齐次q-Laguerre多项式或者齐次little q-Jacobi多项式的充要条件.作为应用,证明了不同权的q-Laguerre多项式生成函数, Rogers型q-Laguerre多项式的一个等价形式, 以及Ramanujan q-beta积分和Andrews-Askey积分的若干推广.
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