摘要
分数阶微积分作为微积分一个重要的分支,具有非局部性、记忆性,能够描述系统在发展的过程中对于过去状态的依赖性.随机微分方程,能很好的刻画随机扰动现象,同时能广泛地运用到很多领域,将数学中的许多分支有效的联结起来.分数阶随机微分方程,作为分数阶微分方程和随机扰动的结合,具有描述问题更加贴切的特点,能准确地描述现实生活中的诸多自然现象和规律.运用分数阶随机微分方程对天体力学、生物种类、电力电信、疾病控制等问题进行建模并分析会获得很好的模拟结果.本文主要探讨了几类分数阶随机微分方程解的存在性、唯一性和平均原理,主要内容如下: 首先研究了带脉冲的分数阶随机微分方程.运用M?nch不动点定理,结合给出的假设条件,证明了解的存在性.运用Banach压缩映射原理证明了解的唯一性.此外,在一些新的假设条件的基础上,运用Gr?nwall-Bellman不等式探讨了系统的平均原理. 其次研究了Caputo中立型分数阶随机微分方程.运用压缩映射原理证明了解的存在唯一性.随后,在一些新的假设条件下,通过Gr?nwall-Bellman不等式和区间平移技术探讨了系统的平均原理. 最后,研究了由Brownian运动驱动的Caputo型分数阶时滞随机微分方程.利用Laplace变换及其逆变换导出了系统解的形式,并运用Picard迭代技术证明了该系统解的存在性.通过反证法证明了解的唯一性.随后,借助Jensen不等式、H?lder不等式、Burkholder-Davis-Gundy不等式和Gr?nwall-Bellman不等式证明了平均原理.
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