摘要
层论在研究拓扑空间特别是流形的局部性质和整体性质的相互联系时是一种很适当的语言,尤其在与层最相关的上同调和无穷小形变方面显得更为自然.本文主要从三个角度来讨论复解析结构无穷小形变的理论,并考虑如何融合这些似乎不同的形变理论.通过引进一种所谓的Schouten-Nijenhuis李括号和一类Beltrami微分方程与经典的Maurer-Cartan方程相兼容的Beltrami-Maurer-Cartan方程,以便于研究由形变诱导微分方程的可解性,包括涉及多重典则不变的Siu猜想对应的微分方程在附加条件下的可解性问题.具体工作如下： 1.遵循Kodaira-Spencer的研究思路讨论了复流形上的复解析族纤维的无穷小形变,结合层及上同调群与Hodge分解定理讨论了当H2(M,Θ)=0时的复解析族的无穷小形变存在性定理,借鉴原有的证明思路和Liu-Rao-Yang关于整体典则族收敛的证明技巧,重新整合给出更详细的形变存在性定理的证明. 2.主要研究复结构一阶形变的幂级数展开式并讨论它的系数迭代方程组.如果选择一类带有平凡典则丛的流形,如Calabi-Yau流形,由引入的Schouten-Nijenhuis李括号积得到的广义Tian-Todorov引理与?-?-引理推出系数迭代方程组存在形式解. 3.讨论多重典则不变的Siu猜想所对应微分方程的形变可解问题.引入Beltrami-Maurer-Cartan方程,并基于Liu-Zhu的研究方法,着重讨论了形变算子-?*G-?▽'=T▽'在限制条件下的微分方程-?Ω=-▽'(iφΩ)+m(divφ)∧Ω的全纯可解问题,这里微分形式从(n,0)型拓展至一般的(p,q)型.最后给出一些结论和证明.
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