摘要
非厄米哈密顿量因其在物理学中的应用而引起了人们的广泛关注，它是研究量子开放系统的重要工具，非厄米量子系统的实现已经成为原子物理学、微波、力学和光学中一个快速发展的课题。在具有宇称-时间（PT）对称性的腔光力系统中，探究量子态在电荷正负-宇称-时间（CPT）内积下的区分度在量子通信与量子信息处理方面有着一定意义；SU(1,1)驱动的非厄米谐振子系统可以表现出纯实的能谱，其可以与普通谐振子构成二维谐振子系统，Lissajous图像与经典轨道图像完全重合，显示了量子世界与经典世界统一的本质；对于一个不满足规范不变性的反PT三能级哈密顿量，可以通过引入幺正算符构造出一个满足规范不变性的哈密顿量，这有利于量子规范原理的广泛应用。本文具体内容如下： （一）在PT对称的腔光力系统中，通过哈密顿量的对角化以及旋波近似的方法求解得到了考虑声子模式耗散的声子激光。通过恰当的构建C算符，可以解得此声子激光二能级的CPT内积，利用CPT内积求得声子激光中两量子态的迹距离。通过绘图比较两量子态在传统内积和CPT内积下的迹距离，发现该声子激光二能级模型的量子态在CPT内积下的区分度明显优于传统内积下的区分度。 （二）在SU(1,1)周期驱动的厄米哈密顿量中，光谱的虚域是由一个完全无界的倒势产生的。一种向外的力作用于粒子，它加速地远离中心点，类似于膨胀宇宙的超级空间模型，而哈密顿量仍然是厄米的。相反，非厄米哈密顿量在相互作用常数的整个区域内具有实特征值，从而增加了势阱的梯度。而厄米相互作用使梯度连续减小到零，即特征态退化的奇异点。将非厄米哈密顿量推广到周期性含时的二维系统，波函数的概率密度与经典轨道一致。 （三）最近有工作提出了满足规范不变性的二能级模型，它可以在任何相互作用下满足规范不变性。这里基于量子规范原理，利用同样的方式提出了满足规范不变性的新的三能级的哈密顿量。一种方式是适当的引入幺正有限维矩阵，在希尔伯特空间中构造一个满足规范不变性的三能级；另一种方式是将投影算符适当作用于三能级哈密顿量，构造满足规范不变性的库仑哈密顿量和偶极哈密顿量，并且从数学推导和物理图像两方面验证了新哈密顿量的规范不变性。
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