摘要
由于规范解问题在数学和物理上的重要意义,越来越多的学者开始关注各种方程的规范解问题.近十年来,借助变分方法和临界点理论,研究者们在规范解的研究中得到了很多重要的结果. 在利用变分的方法研究规范解问题时, Sobolev临界非线性项的存在导致方程规范解的研究变得更加困难. 本文考虑两类带有Sobolev临界非线性项的椭圆型方程规范解的存在性. 在得到存在性的基础上, 本文分析解关于某些参数的渐近性.此外,本文还得到解的非存在性、解的多重性等结果. 首先考虑如下带有Sobolev临界非线性项的分数阶Schr(o)dinger方程{(−Δ)su=λu+μ|u|q-2u+|u|2*s-2u,x∈RN,∫RN|u|2dx=α2,其中0＜s＜1,N＞2s,2＜q＜2*s=2N/N-2s,α,μ＞ 0,λ∈R是一个Lagrange乘子.当α和μ满足适当的条件时,借助Sobolev次临界情形的存在性结果以及逼近的方法, 本文得到上述方程解的存在性. 在得到存在性的基础上, 本文分析了解关于参数μ的渐近性. 其次考虑如下带有Sobolev临界非线性项的p-Laplace方程{-△pu=λu+μ|u|q-2u+|u|p*-2u,x∈RN,∫RN|u|pdx=αp,其中1＜p＜N,2＜q＜p*=Np/N-p,α＞0,μ∈R,λ∈R是一个Lagrange乘子.当α和μ＞0满足适当的条件时, 利用Schwarz重排和山路定理, 并结合Pohozaev恒等式, 本文得到上述方程解的存在性. 在得到存在性的基础上分析解关于参数μ的渐近性.当μ＜0时, 本文证明上述方程正解的非存在性. 利用亏格理论本文得到当p＜q＜p+p2/N时上述方程有无穷多解.
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