摘要
数学知识发展的过程是发现问题、分析问题和解决问题的过程. 问题驱动的数学教学理论是指教师在教学一个数学知识时，首先梳理相关历史，明确促使知识产生的关键问题；随后，分析教与学的重难点，使得教学设计更具针对性；最后，结合数学课程标准的要求和学生的学情，通过合情推理创设恰当的问题情境，引导学生还原数学知识产生的这一过程. 问题驱动的教学理论是融合数学学科特点与弗赖登塔尔数学教育观的教学模式. 弗赖登塔尔主张对数学知识“再创造”组织教学，问题驱动的教学理论则强调在教师指导下的“有限再创造”. 二次函数是初中教与学的重难点，基于问题驱动理论对二次函数单元的教学进行研究，以期有所启示. 主要对以下四个方面的内容进行论述： 首先，对二次函数单元的国内外教学研究进行综述，结合旁听常态课分析教学现状，从而总结出教学的关键问题.对问题驱动的教学理论进行简介，结合实例辨析问题驱动教学理论与其他教学理论的异同；界定相关术语，为后续研究提供理论基础. 其次，对二次函数的相关历史进行梳理，从而明确两个问题：二次函数是为了解决什么问题产生的？二次函数背后隐含着怎样的数学思想？从历史中汲取教学启示，为如何处理教学的关键问题提供借鉴. 再次，对国内现行六个版本二次函数教材进行分析与比较.从课时安排、内容组织、数学知识的引入和呈现方式等角度，分析比较不同教材的编写特点，对其如何处理教学的关键问题进行剖析. 最后，基于问题驱动的教学理论，结合上述二次函数历史发展的脉络以及对教学现状和现行教材的分析，对《二次函数》单元进行教学再设计. 本研究的主要成果有： （1）提供3套操作性较强的单元教学设计. 第一，基于现行课标和教材，结合最大面积问题给出一套基于“表达式”属性的教案. 第二，基于二次函数图象的“动态”属性，以“初始高度和初始角度如何影响斜抛射体的轨迹”作为本原性问题教学二次函数概念，帮助学生理解斜抛射体的轨迹是二次函数. 第三，结合二次函数图象的“静态”属性，基于抛物线的光学性质引出二次函数概念，引导学生通过尺规作图画出抛物线. 三套教学设计能满足不同层次学生的学习需求，力求体现引入二次函数概念的必要性及其蕴含的重要思想——①可直接通过研究代数式的性质求解问题；②抛物线可将平行光线聚于一点. （2）教学充分融入数学教育的最新研究成果.文献综述对学生学习二次函数的困难、教师教学的难点以及可供借鉴的教学方式等进行了分析.研究综合历史、课标要求和上述数学教育成果进行二次函数的教学再设计. 第一，对“不能很好地区分二次函数与一元二次方程”“左右平移与预期的方向相反”“左右平移法则与上下平移法则不一致”等教学重难点进行了恰当的教学处理. 第二，对“若一组数据y值的二阶差是常数，则这组数据可用二次函数表示”“二次增长中二次项系数的值等于y值二阶差常数的一半”等进行了简单的教学，帮助学生理解二次函数的重要价值：③是表示匀加（减）速变化的数学模型. 第三，为了更好地教学二次函数的配方法，建议《配方法求解一元二次方程》应结合几何意义进行教学. 对如何从代数和几何两个角度教学二次函数的配方法展开讨论. 第四，以求解最大面积问题为切入点，在《二次函数的图象与性质》首课引导学生将一般式转化为顶点式，而非“从天而降”y=a(x-h)2并直接要求学生对其进行探究.研究以附录形式给出二次函数单元的教学设计详案. （3）对教学中出现的一些伪情境进行了思考辨析. 第一，部分情境有将“像”抛物线的曲线当成抛物线之嫌，实际上赵州桥（圆弧形）、悬链线、跳绳曲线等都不是抛物线. 第二，将自带推力的火箭作为斜抛射体情境，此时二次项系数不应等于-5. 第三，在扔铅球情境中，给定“高度-水平距离”公式要求学生据此求出小球扔出的距离，本末倒置. 部分学生或许会因此对数学的有用性产生怀疑.第四，在小球沿固定光滑斜面落下的情境中，受误差影响实验数据的真实性不具有说服力. 第五，未能较好地体现变化思想，“x”是确定值的未知数而非变量. 最后，在最大利润问题中，价格波动与销量变化的关系为一次函数过于理想化. （4）为教材编写提供不成熟的建议. 第一，恰当教学二次增长. 第二，以“长度一定的最大面积问题”引出二次函数概念. 第三，锐角三角比先于二次函数教学. 第四，慎用上述有科学性和真实性有待商榷的问题情境. （5）有助于进一步丰富完善问题驱动的教学理论. 研究给出的教学设计是增加课堂弹性的实践案例，可作为前人研究的有益补充. 研究范式可供一线教师参考. 二次函数在生活和数学中有着重要的运用，是学与教的重难点. 研究提供了基于不同视角的教学再设计，在教学实践中获得了执教者总体上的正反馈.
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