本文旨在建立最基本的SIR模型,利用非线性微分方程组的相关理论,在考虑垂直传染率和免疫接种的情况下,对一类具有饱和传染率的SIR传染病模型进行局部、全局分析,综合常微分方程稳定性理论和极限系统理论,分别讨论该模型的无病平衡点和地方病平衡点的存在性问题.根据无病平衡点和地方病平衡点的存在性及其稳定性的条件,得出决定SIR传染病是否发生的阈值,并用利用Lyapunov方法,在不同阈值的条件下,讨论无病平衡点局部、全局渐近稳定性和地方病平衡点的局部渐近稳定.最后,结合具有饱和传染率的情况对模型进一步分析研究得到无病周期解,给出此周期解的全局稳定性分析,并获得系统一致持续生存的条件.最后本着理论指导实践的原则,给出预防传染病蔓延的手段,为预测某些疾病在某一地区的传播和防治提供理论依据.研究结果表明:基本再生数是决定疾病流行与否的阈值,当R0>1时,地方病是局部稳定,即在传播过程,R0<1时,地方病是不稳定的,即在被消灭状态. R0<1时无病平衡点局部渐近稳定,R0>1,时无病平衡点不稳定,感染者持续存在且病毒持续流行并将成为一种地方病.
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