指数型丢番图方程(na)x+(nb)y=(nc)z是数论领域中非常典型的一类不定方程.设a,b,c为两两互素的正整数且满足a2+b2 = c2,即当a,b,c为本原商高数时,该方程就可以写为[n(a2-b2)]x+[n(2ab)]y=[n(a2+b2)]z.由于该类丢番图方程与编码理论、群论以及组合论都有着紧密的联系,因此一直以来都备受广大数学爱好者的青睐.1956年,Jeśmanowicz猜想该方程仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),但迄今为止这类方程还未得到彻底的解决.本文主要运用奇偶分析法、简单同余法、以及二次剩余理论等方法,证明了:对任意的正整数n,丢番图方程(24n)x+(143n)y =(145n)2仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),即证明了:当(a,b,c)=(24,143,145)时,Jeśmanowicz猜想成立.
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